Xét tính khả vi của hàm số

Bài giảngGiải tích 1Giải tích 2Đại số đường tính (LinearAlgebra)Xác suất thốngkêPhương thơm pháp Toán thù Lý (PT Đạo hàm riêng rẽ cùng PBĐLaplace)Thảo luậnThảo luận về giảitíchThảo luận ĐSTTThảo luận XSTKEbooksMaths Ebooks

Ta đã hiểu được có mang đạo hàm riêng rẽ đến họ biết được vận tốc biến đổi của hàm số lúc cho một trong số đổi thay số đổi khác quý giá. Bây gờ, bọn họ sẽ phân tích sự thay đổi của hàm số 2 phát triển thành

*
lúc cho tất cả hai thay đổi số chuyển đổi.

Bạn đang xem: Xét tính khả vi của hàm số

Xét hàm số

*
cùng
*
là vấn đề thuộc miền khẳng định D. Ta mang lại x, y đổi khác một lượng tương ứng
*
sao cho
*
. Khi đó, quý hiếm của hàm số sẽ biến hóa một lượng:

*

1. Định nghĩa 1:

Hàm số f(x;y) được call là khả vi tại điểm

*
trường hợp số gia toàn phần
*
rất có thể màn trình diễn được dưới dạng:

*
(1)

trong các số ấy A, B là số đông số ko dựa vào Δx, Δy; còn α, β → 0 Lúc Δx, Δy → 0

lúc đó, đại lượng A.Δx +B.Δy được gọi là vi phân toàn phần của hàm số f(x;y) tại

*
ứng cùng với các số gia Δx, Δy cùng được ký hiệu
*

Ví dụ:

Xét hàm số

*
. Ta có:

*

Hay:

*

Do đó:

*

Cho cần hàm số khả vi tại

*
*

Nhận xét:

1. Xét

*
,
*

Cho

*
thì
*
. Lúc kia, áp dụng bất đẳng thức B.C.S với giới hạn kẹp ta có:

*

Do kia, ε là Ngân hàng Ngoại thương lúc ρ → 0.

Vì vậy, biểu thức (1) rất có thể viết bên dưới dạng:

*
, 0(ρ) là cực kì nhỏ bé bậc cao hơn nữa ρ.

2. Ta cần thiết sử dụng tư tưởng nhằm xét sự khả vi của hàm số

*
nlỗi nghỉ ngơi ví dụ 1 được. Tổng quát, chỉ có thể vận dụng định nghĩa nhằm xét sự khả vi đến những hàm số dạng nhiều thức, còn những hàm số khác thì cấp thiết sử dụng định nghĩa nhằm điều tra sự khả vi ở một điểm. Vì vậy, ta rất cần được kiếm tìm một luật pháp khác để xử lý sự việc này.

3. Hàm số

*
được gọi là khả vi trên miền D trường hợp nó khả vi trên đầy đủ điểm ở trong D.

2. Định lý 1: (Điều kiện buộc phải để hàm số khả vi)

Nếu hàm số

*
khả vi trên
*
thì nó thường xuyên tại đặc điểm này.

Chứng minh:

Vì hàm số khả vi, nên tự công thức (1) ta có:

*
} = 0 " class="latex" />

Vậy:

*

Do kia, hàm số tiếp tục tại

*
.♦

Nhận xét:

1. Nếu hàm số f(x;y) không thường xuyên tại

*
thì sẽ không khả vi trên đặc điểm đó.

Xem thêm: Bố Cục Bài Mùa Xuân Nho Nhỏ, Hướng Dẫn Soạn Bài Mùa Xuân Nho Nhỏ

2. Hàm số khả vi bên trên miền D thì thường xuyên vào miền kia.

3. Định lý 2:

Nếu f(x;y) khả vi tại

*
thì nó tất cả những đạo hàm riêng rẽ
*
tại
*
với bọn chúng tương ứng bằng A và B vào biểu thức 1 của quan niệm hàm số khả vi.

Chứng minh:

Thật vậy, từ cách làm (1) ta đến

*
, ta được:

*

trong số đó α →0 khi Δx → 0.

Do đó:

*

Vậy

*

Hoàn toàn giống như ta có:

*

Nhận xét:

1. bởi thế, trường hợp hàm số f(x,y) khả vi trên

*
thì vi phân toàn phần của hàm số trên
*
được xác định bởi:

*

2. Khác với hàm tiên phong hàng đầu thay đổi (trường hợp hàm số có đạo hàm thì sẽ khả vi), nếu như hàm số nhị trở thành số f(x,y) có những đạo hàm riêng biệt trên $latex(x_0;y_0) thì chưa kiên cố nó sẽ khả vi trên đặc điểm này. Ta xét hàm số sau:

*

Theo quan niệm đạo hàm riêng biệt, ta có:

*

Tương từ bỏ ta có:

*
mà lại hàm số G(x;y) ko thường xuyên tại (0; 0) (coi phần giới hạn hàm các biến) yêu cầu ko khả vi tại (0;0)

4. Định lý 3 (Điều kiện đầy đủ để hàm số khả vi)

Cho hàm số f(x;y) bao gồm các đạo hàm riêng rẽ trong một miền D chứa điểm

*
. Nếu các đạo hàm riêng ấy liên tục trên M thì hàm số khả vi trên đặc điểm đó.

5. Các ví dụ:

1. Cho hàm:

*

Tính

*
với
*
. Hàm bao gồm khả vi tại (0;0) tốt không?

Giải

Để tính các đạo hàm riêng biệt tại (0;0) ta cần cần sử dụng quan niệm cơ mà bắt buộc nạm quý giá (0;0) vào biểu thức đạo hàm

Ta có:

*

tương tự:

*
=
*
=
*

Mặc dù, hàm số gồm 2 đạo hàm riêng rẽ trên (0;0) mà lại ko khả vi trên đặc điểm này vì chưng hàm số đang mang lại ko tiếp tục tại (0;0). Thật vậy: xét điểm (x;y) tiến về điểm (0;0) theo mặt đường thẳng y = kx ta tất cả.

Xem thêm: Thực Trạng Việc Làm Của Sinh Viên Mới Ra Trường, Sinh Viên Và Việc Làm (Thực Trạng Và Giải Pháp)

*

Vậy cực hiếm số lượng giới hạn dựa vào vào hệ số k nện giới hạn ko mãi sau.

Do đó:

*

Nên hàm số ko tiếp tục trên (0;0) và vì vậy nó ko khả vi trên (0;0)

2. Tìm vi phân của hàm số:

*

Hàm số luôn xác định với liên tiếp với tất cả

*
đề nghị khả vi tại hồ hết điểm
*
. lúc đó ta có:


Chuyên mục: Tổng hợp