Xét tính khả vi của hàm số
Ta đã biết rằng khái niệm đạo hàm riêng cho chúng ta biết được tốc độ thay đổi của hàm số khi cho 1 trong các biến số thay đổi giá trị. Bây gờ, chúng ta sẽ nghiên cứu sự thay đổi của hàm số 2 biến

Bạn đang xem: Xét tính khả vi của hàm số
Xét hàm số





1. Định nghĩa 1:
Hàm số f(x;y) được gọi là khả vi tại điểm



trong đó A, B là những số không phụ thuộc Δx, Δy; còn α, β → 0 khi Δx, Δy → 0
Khi đó, đại lượng A.Δx +B.Δy được gọi là vi phân toàn phần của hàm số f(x;y) tại


Ví dụ:
Xét hàm số


Hay:

Do đó:

Cho nên hàm số khả vi tại


Nhận xét:
1. Xét


Cho



Do đó, ε là VCB khi ρ → 0.
Vì vậy, biểu thức (1) có thể viết dưới dạng:

2. Ta không thể dùng định nghĩa để xét sự khả vi của hàm số

3. Hàm số

2. Định lý 1: (Điều kiện cần để hàm số khả vi)
Nếu hàm số


Chứng minh:
Vì hàm số khả vi, nên từ công thức (1) ta có:

Vậy:

Do đó, hàm số liên tục tại

Nhận xét:
1. Nếu hàm số f(x;y) không liên tục tại

Xem thêm:
2. Hàm số khả vi trên miền D thì liên tục trong miền đó.
3. Định lý 2:
Nếu f(x;y) khả vi tại



Chứng minh:
Thật vậy, từ công thức (1) ta cho


trong đó α →0 khi Δx → 0.
Do đó:

Vậy

Hoàn toàn tương tự ta có:

Nhận xét:
1. Như vậy, nếu hàm số f(x,y) khả vi tại



2. Khác với hàm số 1 biến (nếu hàm số có đạo hàm thì sẽ khả vi), nếu hàm số hai biến số f(x,y) có các đạo hàm riêng tại $latex(x_0;y_0) thì chưa chắc nó đã khả vi tại điểm đó. Ta xét hàm số sau:

Theo định nghĩa đạo hàm riêng, ta có:

Tương tự ta có:

4. Định lý 3 (Điều kiện đủ để hàm số khả vi)
Cho hàm số f(x;y) có các đạo hàm riêng trong một miền D chứa điểm

5. Các ví dụ:
1. Cho hàm:

Tính


Giải
Để tính các đạo hàm riêng tại (0;0) ta phải dùng định nghĩa mà không thể thế giá trị (0;0) vào biểu thức đạo hàm
Ta có:

tương tự:



Mặc dù, hàm số có 2 đạo hàm riêng tại (0;0) nhưng không khả vi tại điểm đó vì hàm số đã cho không liên tục tại (0;0). Thật vậy: xét điểm (x;y) tiến về điểm (0;0) theo đường thẳng y = kx ta có.

Vậy giá trị giới hạn phụ thuộc vào hệ số k nện giới hạn không tồn tại.
Do đó:

Nên hàm số không liên tục tại (0;0) và do đó nó không khả vi tại (0;0)
2. Tìm vi phân của hàm số:

Hàm số luôn xác định và liên tục với mọi


Chuyên mục: Tổng hợp