Tính đạo hàm bằng định nghĩa

1. Định nghĩa đạo hàm

Cho hàm số y = f(x) khẳng định trên khoảng tầm (a;b),x0∈ (a;b). Giới hạn hữu hạn (nếu có) của tỉ số

*
Lúc x→x0được hotline là đạo hàm của hàm số đã cho tạix0, kí hiệu là f'(x0) tuyệt y'(x0). Nlỗi vậy:

f'(x0) =

*
*
.

Bạn đang xem: Tính đạo hàm bằng định nghĩa

Nếu đặt x - x0=∆x và∆y = f(x0+∆x) - f(x0) thì ta có

f'(x0) =

*
*

Đại lượng∆x được Hotline là số gia của đối số tại x0cùng đại lượng∆y được điện thoại tư vấn là số gia khớp ứng của hàm số.

2. Quy tắc tính đạo hàm bởi định nghĩa

Cách 1.Với∆x là số gia của số đối tạix0,tính∆y = f(x0+∆x)- f(x0);

Bước 2.Lập tỉ số

*
;

Bước 3.Tính

*
*
.

Nhận xét:trường hợp nắm x0bởi x ta bao gồm khái niệm với quy tắc tính đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x∈ (a;b).

Xem thêm: Hướng Dẫn Giải Bài Tập Phép Biến Hình Lớp 11 : Phép Dời Hình Và Phép Đồng Dạng

3. Quan hệ giữa tính tiếp tục cùng sự sống thọ đạo hàm

Định lí.Nếu hàm số y = f(x) gồm đạo hàm tại x0thì nó tiếp tục tạix0.

Chụ ý.

Định lí trên tương đương với xác định : Nếu y = f(x) ngăn cách trên x0thì nó không có đạo hàm tại đặc điểm đó.Mệnh đề hòn đảo của định lí sai trái. Một hàm số liên tục trên một điểm hoàn toàn có thể không tồn tại đạo hàm trên điểm đó.

4. Ý nghĩa hình học tập của đạo hàm

Nếu sống thọ, f'(x0) là thông số góc của tiếp tuyến của thiết bị thị hàm số y = f(x) trên điểm M0(x0;f(x0)). Lúc kia pmùi hương trình tiếp con đường của thiết bị thị trên điểmM0(x0;f(x0)) là

y - f(x0) = f'(x0)(x-x0)

5. Ý nghĩa trang bị lí của đạo hàm

v(t) = s'(t) là tốc độ liền của vận động s = s(t) tại thời điểm t.

Xem thêm: 33 Mở Bài Mẫu Cho Các Tác Phẩm Văn Học Lớp 12, Tài Liệu Những Bài Nghị Luận Văn Học Lớp 12

6. Các dạng toán cơ bản :

Loại 1 : Tính đạo hàm bằng công thức :

lấy ví dụ 1 :

Tính đạo hàm của hàm số(fleft(x ight)=frac1x)tại điểm(x_0=2)

Bài giải :

Giả sử(Delta x)là số gia của đối số tại(x_0=2). Ta có :

(Delta y=fleft(2+ Delta x ight)-fleft(2 ight)=frac12+Delta x-frac12=-fracDelta x2left(2+Delta x ight))

(fracDelta yDelta x=-frac12left(2+Delta x ight))

(limlimits_Delta x ightarrow0fracDelta yDelta x=limlimits_Delta x ightarrow0frac-12left(2+Delta x ight)=-frac14)

Vậy(f"left(2 ight)=-frac14)

lấy ví dụ như 2 : Tính đạo hàm hàm số :(y=sqrtx+sqrtx+sqrtx)

Bài giải :

Xét hàm số :(y=sqrtx+sqrtx+sqrtx)ta có(y"=fracleft(x+sqrtx ight)"2sqrtx+sqrtx+frac12sqrtx=frac1+frac12sqrtx2sqrtx+sqrtx+frac12sqrtx)

(=frac1+2sqrtx4sqrtxsqrtx+sqrtx+frac12sqrtx=frac1+2sqrtx+2sqrtx+sqrtx4sqrtxsqrtx+sqrtx)

Loại 2 : Chứng minch những đẳng thức về đạo hàm :

lấy ví dụ như 1:

Cho(y=e^-x.sin x),chứng minh hệ thức(y"+2y"+2y=0)

Bài giải :

Ta có(y"=-e^-x.sin x+e^-x.cos x)

(y"=e^-x.sin x-e^-x.cos x-e^-x.cos x-e^-x.sin x=-2e^-x.cos x)

Vậy(y"+2y"+2y=-2.e^-x.cos x--2.e^-x.sin x+2.e^-x.cos x+2.e^-x.sin x=0)

Ví dụ 2 :

Cho(y=frac12x^2e^x),chứng tỏ hệ thức(y"-2"+y=e^x)

Bài giải :

Ta tất cả :(y"=xe^x+frac12x^2e^x)

(y"=e^x+xe^x+xe^x+frac12x^2e^x=e^x+3xe^x+frac12x^2e^x)

lúc đó :(y"+2y"+y=e^x+2xe^x+frac12x^2e^x-x^2e^x+frac12x^2e^x=e^x)

ví dụ như 3 : Cho(y=sqrt2x+x^2), chứng tỏ rằng ta gồm hệ thức(y^3y"+1=0)

Bài giải :

Ta bao gồm :(y"=frac2+2x2sqrt2x+x^2=frac1+xsqrt2x+x^2)

(y"=fracsqrt2x+x^2-left(1+x ight)frac1+xsqrt2x+x^22x+x^2=frac2x+x^2-left(1+x ight)^22x+x^2sqrt2x+x^2=frac-12x+x^2sqrt2x+x^2)

Ta tất cả :(y^3y"+1=left(2x+x^2 ight)sqrt2x+x^2left(frac-1left(2x+x^2 ight)sqrt2x+x^2 ight)+1=0)

Loại 3 : Pmùi hương trình với bất phương thơm trình có đạo hàm

lấy ví dụ như 1:Cho(fleft(x ight)=x^3ln x),giải pmùi hương trình :

(f"left(x ight)-frac1xfleft(x ight)=0)(1)

Bài giải :

Ta có(fleft(x ight)=3x^2ln x+x^3.frac1x=3x^2ln x+x^2)

Vậy (1)(Leftrightarrow3x^2ln x+x^2-x^2ln x=0)

(Leftrightarrow2x^2ln x+x^2=0)

(Leftrightarrow x^2left(2ln x+1 ight)=0) (2)

Rõ ràng(x>0)là ĐK tồn tại pmùi hương trình bắt buộc :

(left(2 ight)Leftrightarrow2ln x+1=0)

(Leftrightarrowln x=-frac12)

(Leftrightarrow x=frac1e^frac12=frac1sqrte)

lấy ví dụ như 2 :

Cho(fleft(x ight)=2x^2cos^2fracx2)và(gleft(x ight)=x-x^2sin x). Giải phương trình(fleft(x ight)=gleft(x ight))(1)​

Bài giải :

Ta bao gồm :(f"left(x ight)=4xcos^2fracx2+2x^2cosfrac12left(-frac12sinfracx2 ight)=4xcos^2fracx2-x^2sin x)

Vậy (1)(Leftrightarrow4xcos^2fracx2-x^2sin x=x-x^2sin x)

(Leftrightarrow4xcos^2fracx2=x)

(Leftrightarrowleft<eginarraynghiemptx=0\cos^2fracx2=frac14endarray ight.)(Leftrightarrowleft<eginarraynghiemptx=0\1+cos x=frac12endarray ight.)(Leftrightarrowleft<eginarraynghiemptx=0\cos x=-frac12endarray ight.)(Leftrightarrowleft<eginarraynghiemptx=0\x=pmfrac2pi3+k2pi,kin Zendarray ight.)

lấy ví dụ như 3 : Cho(fleft(x ight)=2x^3+12x^2)và(gleft(x ight)=9x^2+72x), giải pmùi hương trình(f"left(x ight)+g"left(x ight)le0)

Bài giải :

Ta bao gồm :(f"left(x ight)=6x^2+24x)

(g"left(x ight)=18x+72)

Lúc kia (1)(Leftrightarrow6x^2+24x+18+72le0)

(Leftrightarrow x^2+7x+12le0)

(Leftrightarrow-4le xle-3)

Loại 4 : Đạo hàm V.I.P :

lấy ví dụ :Cho(fleft(x ight)=frac5x-3x^2-3x+2); tìm(f^left(n ight)left(x ight))

Bài giải :

Ta hãy tìm A, B làm sao để cho :(frac5x-3x^2-3x+2=frac5x-3left(x-1 ight)left(x-2 ight)=fracAx-1+fracBx-2)(1)

Từ (1) ta có(5x-3=Aleft(x-2 ight)+Bleft(x-1 ight)=xleft(A+B ight)-left(2A+B ight))

(RightarrowegincasesA+B=5\2A+B=3endcases)(RightarrowegincasesA=-2\B=7endcases)

Vậy(fleft(x ight)=frac5x-3x^2-3x+2=frac-2left(x-1 ight)+frac7left(x-2 ight))

(Rightarrow f^left(n ight)left(x ight)=-2left(frac1x-1 ight)^left(n ight)+7left(frac1x-2 ight)^left(n ight))

Từ ví dụ bên trên, suy ra :

(f^left(n ight)left(x ight)=7left(-1 ight)^nn!frac1left(x-2 ight)^n+1-2left(-1 ight)n!frac1left(x-1 ight)^n+1=left(-1 ight)^nn!left)

Loại 5 : Bài toán sử dụng định nghĩa đạo hàm :

lấy ví dụ như 1 :Cho hàm số(fleft(x ight)=egincasesfrac1-cos xx;x e0\2;x=0endcases)tất cả mãi sau đạo hàm(fleft(x ight))tại(x=0)hay không ?

Bài giải :

Ta bao gồm :(limlimits_x ightarrow0fleft(x ight)=limlimits_x ightarrow0frac1-cos xx=limlimits_x ightarrow0frac2sin^2fracx2x)

(=limlimits_x ightarrow0fracsinfracx2fracx2.limlimits_x ightarrow0sinfracx2=1.0=0)

Do đó(limlimits_x ightarrow0fleft(x ight) e fleft(0 ight)) vậy(fleft(x ight))là hàm số ko liên tiếp tại(x=0)suy ra(fleft(x ight))không tồn tại đạo hàm trên x = 0 (không thỏa mãn nhu cầu ĐK cần)

Ví dụ 2 : Cho hàm số(fleft(x ight))xác minh trên R cùng thỏa mãn.

(left(fleft(x ight)-fleft(y ight) ight)^2leleft|x-y ight|^3),mọi(x,yin R)

Chứng minch rằng hàm số(fleft(x ight))gồm đạo hàm bên trên R

Bài giải :

Lấy(x_0)tùy ý ở trong R. Từ trả thiết ta bao gồm :

(left(fleft(x_0+Delta x ight)-fleft(x_0 ight) ight)^2leleft|x_0+Delta x-x_0 ight|^3)

(Leftrightarrowleft(fracfleft(x_0+Delta x ight)-fleft(x_0 ight)Delta x ight)^2leleft|Delta x ight|)

(Leftrightarrow-sqrtlefracfleft(x_0+Delta x ight)-fleft(x_0 ight)Delta xlesqrt)

Do(limlimits_Delta x ightarrow xsqrtDelta x ight=limlimits_Delta x ightarrow xleft(-sqrtDelta x ight ight)=0)nên theo "nguim lí kép" ta có

(limlimits_Delta x ightarrow0fracfleft(x_0+Delta x ight)-fleft(x_0 ight)Delta x=0)


Chuyên mục: Tổng hợp