Khai triển nhị thức newton

     

2. Nhận xét

- Trong khai triển
*
*
số hạng và các hệ số của các cặp số hạng cách đều số hạng đầu và số hạng cuối thì bằng nhau :
*
- Số hạng tổng quát dạng :
*
và số hạng thứ
*
thì
*
.- Trong khai triển
*
thì dấu đan nhau nghĩa là
*
, rồi
*
, rồi
*
,…..- Số mũ của a giảm dần, số mũ của b tăng dần nhưng tổng số mũ của a và b bằng n.

Bạn đang xem: Khai triển nhị thức newton


- Nếu trong khai triển nhị thức Newton, ta gán cho a và b những giá trị đặc biệt thì sẽ thu được những công thức đặc biệt. Chẳng hạn như :
*
.
*

Từ khai triển này ta có các kết quả sau

*

*

*

*

3. Tam giác Pascal

Các hệ số của khai triển:

*
có thể xếp thành một tam giác gọi

là tam giác PASCAL.


n = 0 :1

n = 1 : 11

n = 2 : 121

n = 3 :1331

n = 4 :14641

n = 5 :15101051

n = 6 :1615201561

n = 7 :172135352171

Hằng đẳng thức PASCAL


B. Bài tập

Dạng 1. Xác định các hệ số, số hạng trong khai triển nhị thức Newton

A. Phương pháp

Bước 1:Khai triển nhị thức Newton để tìm số hạng tổng quát:

*

Bước 2:Dựa vào đề bài, giải phương trình hai số mũ bằng nhau:

Số hạng chứa

*
ứng với giá trị
*
thỏa:
*
.

Từ đó tìm

*

Vậy hệ số của số hạng chứa

*
là:
*
với giá trị
*
đã tìm được ở trên.

Nếu

*
không nguyên hoặc
*
n" />thì trong khai triển không chứa
*
, hệ số phải tìm bằng 0.

Chú ý:Xác định hệ số của số hạng chứa

*
trong khai triển

*
được viết dưới dạng
*
.

Ta làm như sau:

* Viết

*
;

* Viết số hạng tổng quát khi khai triển các số hạng dạng

*
thành một đa thức theo luỹ thừa của x.

* Từ số hạng tổng quát của hai khai triển trên ta tính được hệ số của

*
.

Chú ý:Để xác định hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức Niutơn

Ta làm như sau:

* Tính hệ số

*
theo
*
*
;

* Giải bất phương trình

*
với ẩn số
*
;

* Hệ số lớn nhất phải tìm ứng với số tự nhiên k lớn nhất thoả mãn bất phương trình trên.

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 1:Trong khai triển

*
, hệ số của số hạng thứ
*
bằng:

A.

*
. B.
*
. C.
*
. D.
*
.

Lời giải:

Chọn B.

Ta có:

*

Do đó hệ số của số hạng thứ

*
bằng
*
.

Ví dụ 2:Trong khai triển

*
, hệ số của số hạng chính giữa là:

A.

*
. B.
*
. C.
*
. D.
*
.

Lời giải:

Chọn D.

Trong khai triển

*
có tất cả
*
số hạng nên số hạng chính giữa là số hạng thứ
*
.

Vậy hệ số của số hạng chính giữa là

*
.

Ví dụ 3:Trong khai triển

*
{x}} \right)}^{6}}" />, hệ số của
*
0 \right)" />là:

A.

*
. B.
*
. C.
*
. D.
*
.

Lời giải:

Chọn C.

Xem thêm: Lan Là Gì? Các Kiểu Kết Nối Mạng Lan Ưu Điểm Và Nhược Điểm Của 3 Kiểu Kết Nối Mạng

Số hạng tổng quát trong khai triển trên là

*

Yêu cầu bài toán xảy ra khi

*
.

Khi đó hệ số của

*
là:
*
.

Ví dụ 4:Tìm hệ số của

*
trong khai triển biểu thức sau:
*

A.29 B.30 C.31 D.32

Lời giải:

Chọn A.

Hệ số của

*
trong khai triển
*
là :
*

Hệ số của

*
trong khai triển
*
là :
*

Hệ số của

*
trong khai triển
*
là :
*
.

Vậy hệ số chứa

*
trong khai triển
*
thành đa thức là:
*
.

Chú ý:

* Với

*
ta có:
*
với
*
.

* Với

*
ta có:
*
{{{a}^{m}}}={{a}^{\frac{m}{n}}}" />với
*
.

Ví dụ 5:Tìm hệ số của số hạng chứa

*
trong khai triển nhị thức Niutơn của
*
biết
*
.

A.495 B.313 C.1303 D.13129

Lời giải:

Chọn A.

Ta có:

*

*

*
.

Khi đó:

*
.

Số hạng chứa

*
ứng với
*
thỏa:
*
.

Do đó hệ số của số hạng chứa

*
là:
*
.

Ví dụ 6:Xác định hệ số của

*
trong các khai triển sau:
*

A.37845 B.14131 C.324234 D.131239

Lời giải:

Chọn A.

Ta có:

*

Số hạng chứa

*
ứng với cặp
*
thỏa:
*

Nên hệ số của

*
là:

*

Dạng 2. Tính tổng
*

A. Phương pháp

Phương pháp 1: Dựa vào khai triển nhị thức Newton

*
.

Ta chọn những giá trị

*
thích hợp thay vào đẳng thức trên.

Một số kết quả ta thường hay sử dụng:

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*
.

Phương pháp 2:Dựa vào đẳng thức đặc trưng

Mẫu chốt của cách giải trên là ta tìm ra được đẳng thức (*) và ta thường gọi (*) là đẳng thức đặc trưng.

Cách giải ở trên được trình bày theo cách xét số hạng tổng quát ở vế trái (thường có hệ số chứa

*
) và biến đổi số hạng đó có hệ số không chứa k hoặc chứa k nhưng tổng mới dễ tính hơn hoặc đã có sẵn.


Chuyên mục: Tổng hợp