Chứng minh phương trình có ít nhất 1 nghiệm

     

Tập khẳng định của hàm số f(x) là . Vì f(x) là hàm nhiều thức tiếp tục bên trên R.

Ta tất cả

*
và bao gồm
*
. Vì
*
với mọi m.

Do kia luôn luôn gồm tối thiểu 1 nghiệm trong khoảng

*
với tất cả m.

Tóm lại phương thơm trình (1) luôn tất cả nghiệm với tất cả giá trị m.

b).

*
(1)

Đặt

*
. Tập xác minh của hàm số f(x) là . Vì f(x) là hàm đa thức thường xuyên trên R.

Ta gồm

*
và tất cả
*
. Từ đó suy ra
*
*
luôn luôn gồm tối thiểu 1 nghiệm
*

Xét trường hợp:

*

*

Tóm lại phương thơm trình (1) luôn có nghiệm với tất cả quý giá m.

c).

*
(1)

Đặt

*
. Tập khẳng định của hàm số f(x) là . Vì f(x) là hàm đa thức liên tiếp trên R.

Ta có:

*
.

Ta có:

*

*
với tất cả m.

luôn có tối thiểu 1 nghiệm

*
với mọi m.

kết luận pmùi hương trình (1) luôn luôn có nghiệm với tất cả giá trị m.

d).

*
*
(1)

Đặt

*
. Tập xác minh của hàm số f(x) là . Vì f(x) là hàm đa thức thường xuyên trên R.

Chọn nghiệm, đến

*

Ta có:

*

Ta có:

*

*
luôn bao gồm ít nhất 1 nghiệm
*
. tóm lại pmùi hương trình (1) luôn có nghiệm với đa số giá trị m.




Bạn đang xem: Chứng minh phương trình có ít nhất 1 nghiệm

Chứng minc phương trình sau có ít nhất một nghiệm:

a).

*
b).
*


LỜI GIẢI

a). Đặt

*
. Tập xác minh của hàm số f(x) là . Vì f(x) là hàm đa thức tiếp tục bên trên R.

Ta tất cả

*
*
, đề xuất suy ra
*
với đa số m. Do kia luôn luôn bao gồm ít nhất 1 nghiệm
*
với đa số m.

b). Đặt

*
. Tập xác định của hàm số f(x) là . Vì f(x) là hàm đa thức tiếp tục trên R.

Ta bao gồm

*
cùng tất cả
*
, nên suy ra
*
với đa số m.

Do kia luôn luôn có tối thiểu 1 nghiệm

*
với mọi m.


Chứng minh các phương trình sau gồm ít nhất nhì nghiệm:

a).

*
b).
*


LỜI GIẢI

a). Đặt

*
. Tập xác định của hàm số f(x) là . Vì f(x) là hàm nhiều thức liên tục bên trên R.

Ta bao gồm

*
,
*

*
phương thơm trình luôn luôn có ít nhất 1 nghiệm
*

*
phương trình tất cả ít nhất 1 nghiệm
*

Từ

*
phương thơm trình (1) luôn luôn tất cả ít nhất 2 nghiệm riêng biệt.


Chứng minch phương trình

*
có tối thiểu một nghiệm trực thuộc khoảng tầm
*


LỜI GIẢI

Đặt

*

Tập xác minh của hàm số f(x) là . Vì f(x) là hàm nhiều thức liên tục trên R.

Ta gồm

*
cùng
*
.

*
pmùi hương trình tất cả ít nhất 1 nghiệm nằm trong khoảng
*


Chứng minc phương trình

*
gồm tối thiểu một nghiệm âm to hơn .


LỜI GIẢI

Đặt

*
. Tập khẳng định của hàm số f(x) là . Vì f(x) là hàm đa thức liên tiếp bên trên R.

Ta có: , với

*
. Từ đó suy ra
*
. Vậy phương trình (1) luôn luôn có nghiệm ở trong khoảng chừng .

Tóm lại phương thơm trình luôn luôn bao gồm tối thiểu 1 nghiệm âm lớn hơn .


Cho hàm số với

*
. Chứng minc phương trình luôn có nghiệm thuộc khoảng .


LỜI GIẢI

Tập xác định của hàm số f(x) là . Vì f(x) là hàm đa thức liên tiếp trên R.

Ta gồm với

*

Theo đề bài bác bao gồm

*

Ta gồm :

*


Cho hàm số

*

a). Chứng minh

*

b). Chứng minch pmùi hương trình không có nghiệm trực thuộc khoảng


LỜI GIẢI

a. Ta tất cả và

*
*

b. Vì hàm số ko liên tục trên không tồn tại nghiệm

*


6. Chứng minh rằng phương thơm trình

*
bao gồm nghiệm.


LỜI GIẢI

Đặt

*
phương thơm trình đã mang lại biến hóa
*

Hàm số

*
liên tiếp trên R.

Ta gồm :

*

Do

*
, suy ra phương thơm trình
*
có nghiệm thuộc
*

Vậy phương thơm trình vẫn mang đến bao gồm nghiệm.


7. Chứng minh những phương trình sau gồm nghiệm:

a)

*
b)
*
c)
*
d)
*


LỜI GIẢI

a). Đặt

*
thì liên tiếp bên trên R cùng
*

Hàm số thường xuyên trên R, gồm suy ra pmùi hương trình bao gồm nghiệm nằm trong khoảng tầm . Vậy phương trình sẽ mang lại tất cả nghiệm.

b). Đặt

*
thì liên tiếp bên trên R và
*

Hàm số liên tiếp trên R, gồm suy ra phương thơm trình gồm nghiệm thuộc khoảng tầm , suy ra pmùi hương trình có nghiệm.

c). Đặt

*
thì thường xuyên trên R cùng
*

Hàm số tiếp tục trên R, gồm suy ra phương trình gồm nghiệm thuộc khoảng . Vậy phương thơm trình đang mang đến tất cả nghiệm.

d). Đặt

*
thì tiếp tục trên R và
*

Hàm số liên tiếp bên trên R, bao gồm suy ra phương thơm trình gồm nghiệm nằm trong khoảng . Vậy pmùi hương trình vẫn mang lại có nghiệm.


10. Chứng minc rằng giả dụ và

*
thì phương thơm trình gồm nghiệm thuộc khoảng chừng
*


LỜI GIẢI

Đặt

*
thì thường xuyên trên R.

Ta tất cả

*

*
(bởi vì )

*
vì thế
*

-Với

*
phương thơm trình sẽ mang đến ( kí hiệu là pmùi hương trình trở nên
*

Suy ra

*
hoặc
*

+Nếu thì tự

*
cùng ĐK suy ra
*
. Lúc kia phương trình có nghiệm là
*
, suy ra phương thơm trình tất cả nghiệm

+ Nếu

*
thì
*
(bởi nếu như
*
thì trường đoản cú điều kiện suy ra )

suy ra phương thơm trình có nghiệm

*

lúc kia từ điều kiện cùng suy ra

*

Do đó phương trình gồm nghiệm

-Với

*
là nghiệm thuộc .

- Với và

*
bao gồm ít nhất một nghiệm thuộc khoảng tầm
*

*
(bởi
*
) cần phương thơm trình có nghiệm

Vậy phương thơm trình luôn gồm nghiệm nằm trong khoảng tầm .


12. Chứng minc rằng với mọi số thực a, b, c pmùi hương trình

*
bao gồm tối thiểu một nghiệm.


LỜI GIẢI

Đặt

*
thì thường xuyên trên R.

Không giảm tính tổng thể, đưa sử

*

-Nếu

*
hoặc
*
thì
*
suy ra pmùi hương trình gồm nghiệm
*

-Nếu

*
thì
*
cùng
*
vì thế mãi sau nằm trong khoảng chừng
*
nhằm
*

Vậy pmùi hương trình vẫn mang lại luôn gồm ít nhất một nghiệm.


8. Chứng minc phương trình

*
có cha nghiệm trên khoảng


LỜI GIẢI

Đặt

*
thì tiếp tục bên trên R.

*

*

Do kia

*
từ bỏ đặc thù của hàm số tiếp tục , suy ra có nghiệm ở trong khoảng tầm
*
suy ra phương trình có bố nghiệm trên khoảng tầm


10. Chứng minch rằng với tất cả a, b, c phương trình

*
luôn tất cả nghiệm.




Xem thêm: Avatar 2 Khi Nào Chiếu - Disney Dời Lịch Bom Tấn ‘Avatar 2’ Sang Năm 2021

LỜI GIẢI

Đặt

*
thì liên tiếp trên R.

Ta có: nhằm

*
để
*

bởi thế tất cả

*
để
*
suy ra pmùi hương trình gồm nghiệm
*
vậy pmùi hương trình đã đến luôn luôn bao gồm nghiệm.


11. Chứng minc rằng với tất cả a, b, c pmùi hương trình

*
bao gồm ít nhất nhì nghiệm riêng biệt.


LỜI GIẢI

Đặt

*
thì tiếp tục bên trên R.

Ta có:

*

để

*
để
*

Do kia

*
suy ra phương trình có nghiệm trong khoảng

*
suy ra phương trình gồm nghiệm trong tầm mà những khoảng tầm với ko giao nhau, vì vậy pmùi hương trình có tối thiểu nhì nghiệm tách biệt.


12. Chứng minc rằng pmùi hương trình

*
gồm nghiệm cơ mà

*


LỜI GIẢI

Cách 1: Đặt

*
ta có phương trình
*

Ta minh chứng phương trình tất cả nghiệm

*

Đặt

*
phương thơm trình trnghỉ ngơi thành:

*

*

Ta chứng minh bao gồm nghiệm trong vòng

*

Đặt

*
thì
*
liên tục bên trên R.

Ta bao gồm

*

Nên

*

*

Do đó

*

Suy ra

*
vậy pmùi hương trình bao gồm nghiệm
*
trường đoản cú kia suy ra điều bắt buộc minh chứng.

Cách 2: (sử dụng lượng giác)

Từ công thức

*

Do kia

*
xuất xắc
*
cùng với
*

Từ công thức này suy ra:

*

Nghiệm của phương thơm trình vẫn cho rất có thể kiếm được dưới dạng :

*
, làm thế nào cho
*

Đặt

*
, pmùi hương trình đã mang lại trsinh hoạt thành:

*

*

*

Lấy

*
ta được
*
cùng nghiệm
*
thỏa mãn điều kiện đã nêu.


Chứng minch rằng pmùi hương trình

*
bao gồm tía nghiệm thực sáng tỏ. Hãy tìm 3 nghiệm đó.


Đặt

*
; tập xác minh
*
suy ra hàm số tiếp tục bên trên . Ta có
*
suy ra
*
. Từ 3 bất đẳng thức này với tính tiếp tục của hàm số suy ra pt bao gồm bố nghiệm khác nhau ở trong
*
. Đặt
*
nạm vào pt ta được:

*
, kết phù hợp với
*
ta được
*
. Do kia phương trình đã đến tất cả 3 nghiệm:

*
.


Cho phương trình:

*
(
*
là ẩn, là ttê mê số). Chứng minc rằng với đa số quý hiếm thực của phương thơm trình đang mang lại tất cả tối thiểu bố nghiệm thực phân minh.


LỜI GIẢI

Đặt

*
ta được khẳng định và tiếp tục trên .

Ta bao gồm

*

Do đó ta được

*
đề nghị phương thơm trình gồm nghiệm ở trong
*
suy ra phương thơm trình gồm 3 nghiệm phân minh.


Tìm n số nguim dương nhỏ dại tuyệt nhất làm sao cho phương thơm trình gồm nghiệm.


Ta bao gồm

*
. Đặt
*
.

Điều khiếu nại nhằm hàm số xác minh

*
.

Nếu n lẻ: hàm số xác định

*
.

Nếu n chẵn: Hàm số khẳng định

*
. Khi kia là hàm số chẵn trên tạp xác minh của chính nó buộc phải nếu như phương thơm trình gồm nghiệm
*
thì cũng đều có nghiệm
*
. Do kia ta chỉ việc xét trường vừa lòng
*
.

Ta gồm

*

Ta bao gồm

*
*
. Dấu xảy ra khi
*
hệ này vô nghiệm. Do đó
*

*
phương trình vô nghiệm lúc
*
.

Với ta bao gồm

*
.

Có ,

*
.

*
. Từ kia có
*
(1).

Hàm số xác minh với liên tục bên trên

*
vì vậy hàm số f(x) liên tục bên trên đoạn
*
(2). Từ (1) với (2) suy ra pmùi hương trình bao gồm ít nhất một nghiệm trong vòng
*
.

Tóm lại là số ngulặng dương bé dại tuyệt nhất thế nào cho pmùi hương trình bao gồm nghiệm.


Cho hàm số

*

a). Chứng minh phương thơm trình tất cả nghiệm .

b). Không tính

*
cùng
*
hãy chứng tỏ
*
.


LỜI GIẢI

Ta tất cả

*
*
yêu cầu
*
(1). Vì hàm số xác định cùng tiếp tục trên R cần buộc phải hàm số f(x) thường xuyên trên đoạn
*
(2). Từ (1) và (2) suy ra phương thơm trình tất cả tối thiểu một nghiệm trực thuộc khoảng tầm .

Ta tất cả

*
. Vì là nghiệm của phương thơm trình yêu cầu
*
.

Đặt

*
vì chưng
*
với
*
.

Áp dụng định lý Cauchy cho nhì số không âm

*
cùng 3 ta bao gồm
*
.

Dấu xảy ra

*
.


Chứng minc Lúc

*
thì phương trình
*
bao gồm tía nghiệm dương riêng biệt.


LỜI GIẢI

Đặt

*

*
.

Ta gồm

*
,
*
,
*
,
*
. Từ kia gồm
*
(1). Vì hàm số thường xuyên với xác định bên trên R cần hàm số tiếp tục trên những đoạn
*
*
*
(2). Từ (1) với (2) suy ra phương thơm trình tất cả bố nghiệm dương rõ ràng lần lượt nằm trong các khoảng chừng
*
*
*
.


Cho

*
*
thỏa
*
. Chứng minch rằng pmùi hương trình sau gồm nghiệm:
*
.


LỜI GIẢI

Đặt

*
. Có hàm số f(x) thường xuyên trên đoạn
*
(1).

Ta có

*

*
.

*

*
.

*
(2).

Từ (1) cùng (2) suy ra phương thơm trình tất cả nghiệm

*
.


Chứng minc với tất cả tđam mê số m pmùi hương trình sau luôn luôn tất cả nghiệm thực:

*


LỜI GIẢI

Đặt

*
.

Ta gồm

*
cùng
*
bắt buộc (1). Vì hàm số f(x) xác định cùng tiếp tục trên R đề xuất f(x) tiếp tục trên đoạn
*
(1). Từ (1) và (2) suy ra phương thơm trình luôn gồm nghiệm nằm trong khoảng chừng .


Chứng minch rằng phương trình

*
bao gồm cha nghiệm minh bạch với đa số cực hiếm của tđê mê số m.


Đặt

*
. Ta có:

*
.

*
.

*
.

*
.

Từ đó ta có

*
(1). Hàm số f(x) xác minh với thường xuyên trên R vì thế f(x) liên tục trên những đoạn
*
(2). Từ (1) với (2) suy ra pmùi hương trình gồm ba nghiệm rành mạch theo lần lượt ở trong các khoảng
*
.


Chứng minch pmùi hương trình có tối thiểu 2 nghiệm với

*
m,n,p
*
.


Xét phương trình: (1)

Xét hàm số:

*

*
*
làm sao để cho
*
.

*
*
thế nào cho
*

*

Hàm số f(x) liên tiếp trên các đoạn

*
với
*

*

*
phương trình bao gồm tối thiểu 1 nghiệm
*
cùng ít nhất 1 nghiệm
*
.

Vậy pmùi hương trình bao gồm ít nhất 2 nghiệm.

*


Cho phương thơm trình:

*

a). Với

*
minh chứng rằng phương trình bao gồm ít nhất hai nghiệm riêng biệt.

b). Với

*
, đưa sử phương thơm trình gồm nghiệm, chứng minh


LỜI GIẢI

a)

Đặt

*
liên tiếp trên R.

Ta có:

*

Mặt khác

*
, đề xuất trường tồn 2 số
*
*
thế nào cho
*
*
. Do đó
*
. Vậy pmùi hương trình có tối thiểu hai nghiệm riêng biệt thuộc nhì khoảng tầm
*
cùng
*
.

b).

*
Gọi
*
là nghiệm của phương trình (
Tổng hợp