Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa

     
Công thức, phương pháp tính Đạo hàm theo định nghĩa với côn trùng tương tác giữa đạo hàm cùng tính liên tiếp - Toán lớp 11

Đạo hàm là ngôn từ đặc biệt vì nó xuất hiện thêm trong không ít dạng toán thù giải tích sinh hoạt lịch trình toán rộng lớn. Vì vậy, nắm vững quan niệm về đạo hàm sẽ giúp những em dễ dàng hấp thụ các bài học kinh nghiệm về sau.

Bạn đang xem: Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa


Trong bài xích này họ cùng tìm hiểu về đạo hàm, công thức với phương pháp tính đạo hàm theo có mang, mọt tương tác giữa đạo hàm với tính tiếp tục của hàm số. Đồng thời áp dụng giải một số trong những dạng bài xích tập như viết phương thơm trình tiếp đường tại một điểm, hay viết phương thơm trình tiếp tuyến đường biết thông số góc k,... nhằm làm rõ hơn.

I. Tóm tắt triết lý về đạo hàm

1. Định nghĩa đạo hàm trên một điểm

Định nghĩa: Cho hàm số  xác minh bên trên khoảng (a;b) và x0 ∈ (a;b), giả dụ tồn tại số lượng giới hạn (hữu hạn):

 

*

thì số lượng giới hạn này được Điện thoại tư vấn là đạo hàm của hàm số  trên điểm x0 và ký hiệu là f"(x0) (hoặc y"(x0)), tức là:

 

*

* Crúc ý:

 Đại lượng Δx = x - x0 được Gọi là số gia của đối số tại x0.

 Đại lượng Δy = f(x) - f(x0) = f(x0 + Δx) - f(x0) được Call là số gia khớp ứng của hàm số, Lúc đó:

*

• Hàm số y = f(x) được điện thoại tư vấn là bao gồm đạo hàm bên trên khoảng M nếu như nó gồm đạo hàm tại mọi điểm x0 ∈ K.

2. Mối tương tác giữa đạo hàm và tính liên tục

• Hàm số y = f(x) bao gồm đạo hàm trên x0 ⇒ f(x) thường xuyên tại x0

3. Công thức, phương pháp tính đạo hàm theo định nghĩa

Để tính đạo hàm theo định nghĩa thực hiện như sau:

- Cách 1: Δy = f(x0 + Δx) - f(x0) với Δx là số gia của đối số tại x0

- Bước 2: lập tỉ số 

- Cách 3: Tìm 

II. Các dạng bài xích tập tính đạo hàm theo định nghĩa

° Dạng 1: Tính đạo hàm theo định nghĩa

* Phương thơm pháp:

- Cách 1: Δy = f(x0 + Δx) - f(x0) = f(x) - f(x0)

- Cách 2: lập tỉ số 

- Cách 3: Tính 

- Lúc cố gắng x0 bằng x, ta tính được đạo hàm của hàm số f(x) tại điểm x ∈ (a;b).

* lấy một ví dụ (Bài 3 trang 156 SGK Đại số 11): Tính (bằng định nghĩa) đạo hàm của từng hàm số trên các điểm sẽ chỉ ra:

a) y = x2 + x tại x0 = 1

b) 

*
 tại x0 = 2

c) 

*
 tại x0 = 0

° Lời giải ví dụ (Bài 3 trang 156 SGK Đại số 11): 

a) Ta có:

 Δx = x - x0 = x - 1 ⇔ x = Δx + 1

 Δy = f(x0 + Δx) - f(x0) = f(1 + Δx) - f(1)

- Mặt khác:

 f(1 + Δx) = (1 + Δx)2 + (1 + Δx)

 f(1) = (12 + 1) = 2

- Nên Δy = (1 + Δx)2 + (1 + Δx) - 2

 = 1 + 2Δx + (Δx)2 + 1 + Δx - 2

 = Δx(Δx+3)

*

*

- Vậy f"(1) = 3.

b) Ta có:

 Δx = x - x0 = x - 2 ⇔ x = Δx + 2

 Δy = f(x0 + Δx) - f(x0) = f(2 + Δx) - f(2)

- Mặt khác:

 

*
 ; 
*

- Nên 

*

 

*

*
 
*

- Vậy

*

c) Ta có:

 Δx = x - 0 = x ⇔ x = Δx

 Δy = f(x0 + Δx) - f(x0) = f(Δx) - f(0)

 

*
 
*

*

*
 
*

- Vậy f"(0) = -2.

° Dạng 2: Liên hệ giữa đạo hàm và tính tiếp tục của hàm số

* Pmùi hương pháp:

1> Hàm số có đạo hàm trên điểm x0 thì liên tiếp trên đặc điểm đó (điều trở lại ko đúng).

2> Để bệnh bản thân hàm số không có đạo hàm tại điểm x0 ta tiến hành nlỗi sau:

- Chứng minh 

*
 ko tồn tại.

- Hoặc chứng tỏ hàm số ko thường xuyên tại x0.

* lấy ví dụ 1 (Bài 4 trang 156 SGK Đại số 11): Chứng minc rằng hàm số:

 

*
 
*

 

*

*

⇒ Hàm số y = f(x) gián đoạn tại x = 0

⇒ Hàm số không tồn tại đạo hàm trên điểm x = 0.

• Xét tại điểm x = 2:

 

*

 

*
 
*

⇒ Hàm số y = f(x) gồm đạo hàm tại x = 2 cùng f"(2) = 2.

* lấy ví dụ 2: Cho hàm số 

*

 

*

*
 đề nghị hàm số liên tục tại x = 0.

Chứng minh hàm số không tồn tại đạo hàm trên x = 0.

 

*
 
*

 

*
 
*

*

 Nên ko tồn tại 

*
, vậy hàm số không có đạo hàm trên x = 0.

* lấy ví dụ 3: Cho hàm số: 

*
 
*

*

*
(*)

- Mặt khác ta có:

*

 

*
 
*

*

  (bởi vì cụ a+b=1 vào)

- vì vậy để hàm f(x) có đạo hàm thì:

*
 (**)

- Từ (*) cùng (**) ta có: 

*

° Dạng 3: Viết phương trình tiếp con đường ở một điểm M0(x0;f(x0)) ∈ (C).

* Pmùi hương pháp:

1) Tính  

 hoặc 

*

2) Hệ số góc của tiếp đường cùng với vật thị (C) trên M0 là k = f"(x0).

3) Phương thơm trình tiếp đường với thứ thị (C) tại điểm M0 là:

 y=f"(x0)(x - x0) + f(x0).

* lấy ví dụ 1 (Bài 5 trang 156 SGK Đại số 11): Viết phương trình tiếp tuyến đường cong y=x3.

Xem thêm: Tìm Hiểu Áp Lực, Áp Suất Là Gì? Công Thức Tính Của Các Loại Áp Suất

a) Tại điểm (-1; -1);

b) Tại điểm bao gồm hoành độ bằng 2; 

° Lời giải ví dụ 1 (Bài 5 trang 156 SGK Đại số 11):

• Ta có:

 

*
 
*

 

*

*

a) Tiếp tuyến đường của y = x3 tại điểm (-1; -1) có dạng:

 y = y’(-1)(x + 1) + y(1)

- Mà y"(1) = 3.(-1)2 = 3; y(1) = -1 nên:

 y = 3(x + 1) – 1 =3x + 2

b) Tại điểm tất cả hoành độ x0 = 2; 

⇒ y0 = f(x0) = f(2) = 23 = 8;

⇒ f’(x0) = f’(2) = 3.22 = 12.

- Vậy phương thơm trình tiếp tuyến của y = x3 tại điểm tất cả hoành độ bởi 2 là:

 y = 12(x – 2) + 8 = 12x – 16.

* Ví dụ 2 (Bài 6 trang 156 SGK Đại số 11): Viết phương thơm trình tiếp tuyến phố hypebol y = 1/x.

a) Tại điểm (1/2; 2);

b) Tại điểm bao gồm hoành độ bởi -1;

° Lời giải ví dụ 2 (Bài 6 trang 156 SGK Đại số 11):

• Ta có:

 

*
 
*

*

a) Ta có: 

*

- Nên pmùi hương trình tiếp con đường của mặt đường công trên điểm (1/2;2) là:

 

*

b) b) Tại điểm bao gồm hoành độ x0 = -1;

⇒ y0 = -1 ⇒ f’(x0) = -1.

- Vậy pmùi hương trình tiếp tuyến đường của mặt đường cong y = 1/x trên điểm tất cả hoành độ -1 là:

 y = -1(x + 1) – 1 = -x – 2.

° Dạng 4: Viết phương trình tiếp tuyến cùng với thứ thị (C) khi biết thông số góc k

* Pmùi hương pháp:

1) Điện thoại tư vấn điểm M0(x0; y0) ∈ (C) là tiếp điểm của tiếp đường cùng với thứ thị (C)

2) Tính 

3) Giải phương thơm trình k = f"(x0) tìm x0 rồi tìm được y0 = f(x0).

4) Phương thơm trình tiếp tuyến đường với trang bị thị (C) bao gồm thông số góc k bao gồm dạng:

 y = k(x - x0) + y0

* Crúc ý:

- Nếu hai tuyến phố thẳng tuy vậy tuy vậy với nhau thì tất cả thuộc thông số góc k.

- Nếu hai tuyến đường trực tiếp vuông góc cùng nhau thì tích của nhì thông số góc k1, k2 bởi -1 (tức là k1.k2 = -1).

* lấy ví dụ 1 (Bài 5 trang 156 SGK Đại số 11): Viết pmùi hương trình tiếp tuyến phố cong y=x3.

c) Biết thông số góc của tiếp tuyến đường bằng 3.

° Lời giải ví dụ 1 (Bài 5 trang 156 SGK Đại số 11):

• Biết thông số góc của tiếp tuyến k = 3.

- Ta có: f’(x0) = 3 ⇔ 3x02 = 3 ⇔ x02 = 1 ⇔ x0 = ±1.

- Với x0 = 1 ⇒ y0 = 13 = 1

 ⇒ Phương thơm trình tiếp tuyến: y = 3.(x – 1) + 1 = 3x – 2.

- Với x0 = -1 ⇒ y0 = (-1)3 = -1

⇒ Pmùi hương trình tiếp tuyến: y = 3.(x + 1) – 1 = 3x + 2.

- Vậy tất cả nhì phương thơm trình tiếp đường của con đường cong y = x3 tất cả thông số góc bằng 3 là:

 y = 3x – 2 với y = 3x + 2.

* Ví dụ 2 (Bài 6 trang 156 SGK Đại số 11): Viết phương thơm trình tiếp tuyến phố hypebol y = 1/x.

c) Biết rằng hệ số góc của tiếp con đường bởi -1/4.

° Lời giải ví dụ 2 (Bài 6 trang 156 SGK Đại số 11):

• Biết rằng thông số góc của tiếp con đường k=-1/4.

- Ta có: 

 

*
 
*

- Với 

*
 đề nghị pmùi hương trình tiếp con đường là:

 

*

- Với 

*
 phải pmùi hương trình tiếp con đường là:

 

*

- Vậy có hai phương thơm trình tiếp đường của hypebol y=1/x gồm hệ số góc bằng -1/4 là: 


Chuyên mục: Tổng hợp