Các cách chứng minh tứ giác nội tiếp

     

Bài toán thù minh chứng tđọng giác nội tiếp mặt đường tròn

I. Hướng dẫn giải

– Pmùi hương pháp 1: Chứng minc tứ đọng giác có nhị góc vuông cùng quan sát một cạnh hoặc một đường chéo cánh (chổ chính giữa con đường tròn nước ngoài tiếp tứ giác được xác minh là trung điểm của cạnh hoặc mặt đường chéo đó).

Bạn đang xem: Các cách chứng minh tứ giác nội tiếp

– Phương thơm pháp 2: Chứng minc tứ đọng giác bao gồm tổng nhì góc đối bằng

*
.

– Phương pháp 3: Chứng minch tứ đọng giác gồm hai góc đều nhau thuộc quan sát một cạnh


– Phương pháp 4: Chứng minh tư đỉnh của tứ đọng giác cùng phương pháp phần lớn một điểm.

– Pmùi hương pháp 5: Chứng minc giả dụ tứ giác ABCD gồm AB cắt CD tại M mà

MA.MB = MC.MD thì tđọng giác ABCD nội tiếp.

II. những bài tập mẫu

Bài 1. Cho đường tròn vai trung phong O. Từ điểm A nghỉ ngơi phía bên ngoài đường tròn (O) vẽ nhị tiếp con đường AB và AC với mặt đường tròn (B, C là nhì tiếp điểm). Trên BC mang điểm M, vẽ con đường thẳng vuông góc với OM trên M, cắt AB cùng AC theo lần lượt tại E và D. Chứng minc các tđọng giác EBMO với DCOM nội tiếp được vào mặt đường tròn. Xác định vai trung phong các đường tròn đó.

Giải

– Chứng minc tứ đọng giác EBMO nội tiếp

Có OM ⊥ ME (gt) đề xuất góc OME bởi

*

OB ⊥ BE (BE là tiếp tuyến đường của (O)) đề xuất góc OBE bằng

*

Vậy, tứ đọng giác EBMO tất cả nhì góc vuông cùng quan sát cạnh OE nên tđọng giác EBMO nội tiếp vào con đường tròn 2 lần bán kính OE.

– Chứng minh tứ đọng giác DCOM nội tiếp

Có OM ⊥ OD (gt) yêu cầu góc OMD bằng

*

CD ⊥ OC (CĐ là tiếp đường của (O)) yêu cầu góc OCD bởi

*

Vậy, tứ giác DCOM tất cả hai góc vuông cùng nhìn cạnh OD đề xuất tđọng giác DCOM nội tiếp trong con đường tròn đường kính OD.

Bài 2. Cho mặt đường tròn vai trung phong O đường kính AB = 2R. CD là đường kính cầm tay. Gọi d là tiếp đường tại B của con đường tròn (O), các con đường trực tiếp AC, AD giảm d thứu tự tại P.. với Q.Chứng minc tứ đọng giác CPQD nội tiếp được con đường tròn.

Giải

Ta có:

Có: góc ADB bằng

*
(góc nội tiếp chắn nửa con đường tròn)

Từ (1) với (2) suy ra:

⇒ Tứ đọng giác CPQD nội tiếp được mặt đường tròn.

Bài 3. Qua điểm B nằm tại vị trí phía bên ngoài đường tròn (O), vẽ nhị tiếp tuyến đường BC với BD với mặt đường tròn (O), (C, D là những tiếp điểm). Từ B vẽ mèo con đường BMN (M nằm giữa B cùng N, tia BN nằm giữa hai tia BC và BO), hotline H là giao điểm của BO với CD.

a. Chứng minh BM.BN = BH.BO.

b. Chứng minc tứ đọng giác OHMN nội tiếp.

Giải

a. Ta có: BC = BD (tính chất nhị tiếp đường cắt nhau)

OC = OD (nửa đường kính mặt đường tròn (O))

⇒ BO là đường trung trực của CD ⇒ BO ⊥ CD (1)

△BMC và △BCN có:

Nên △BMC đồng dạng △BCN (g.g)

Do (1) ta có △BCO vuông trên C, đường cao CH:

*
(3)

Từ (2) với (3) ⇒ BM.BN = BH.BO.

b. Ta có: BM.BN = BH.BO (minh chứng trên)

△BMO và △BTP Hà Nội có:

⇒ △BMO đồng dạng △BTP Hà Nội (c.g.c)

⇒ Tứ giác OHMN nội tiếp (nhị góc cân nhau thuộc chú ý một cạnh).

Bài 4. Cho mặt đường tròn chổ chính giữa O và điểm M ở ở ngoài đường tròn (O). Đường thẳng MO giảm (O) tại E với F (ME

a. Chứng minch MA.MB = ME.MF.

b. Call H là hình chiếu vuông góc của điểm C khởi hành thẳng MO. Chứng minch tứ đọng giác AHOB nội tiếp.

Xem thêm: Công Thức Tính Đường Chéo Hình Bình Hành, Có Ví Dụ, Cách Giải Chi Tiết

Giải

a. Hai tam giác MAE và MBF có:

⇒ △MAE đồng dạng với △MBF (g.g)

Nên:

b. Do hệ thức lượng trong mặt đường tròn ta có:

MA.MB =

*

Mặt không giống, hệ thức lượng vào tam giác vuông MCO đến ta:

MH.MO =

*
 ⇒ MA.MB = MH.MO

⇒ Tđọng giác AHOB nội tiếp trong mặt đường tròn.

III. bài tập vận dụng

Bài 1. Cho nửa đường tròn trọng điểm O đường kính AB = 2R. Call C, D là nhì điểm trên nửa con đường tròn đó thế nào cho C ở trong dây AD và góc COD bằng

*
. điện thoại tư vấn giao điểm của hai dây AD cùng BC và E, giao điểm của các con đường thẳng AC và BD là F.

a. Chứng minc tứ điểm C, D, E, F thuộc nẳm bên trên một đường tròn.

b. Tính bán kính của mặt đường tròn đi qua C, E, D, F nói bên trên theo R.

Bài 2. Cho nửa con đường tròn (O) 2 lần bán kính BC. Lấy điểm A trên tia đối của tia CB. Kẻ tiếp tuyến AF cùng với nửa đường tròn (O) (F là tiếp điểm), tia AF cắt tia tiếp con đường Bx của nửa đường tròn (O) trên D (tia tiếp tuyến đường Bx bên trong nửa mặt phẳng bờ BC cất nửa con đường tròn (O)). Điện thoại tư vấn H là giao điểm của BF với DO, K là giao điểm đồ vật hai của DC cùng với nửa con đường tròn (O).

a. Chứng minhh: AO.AB = AF.AD.

b. Chứng minch tứ giác KHOC nội tiếp.

Bài 3. Cho hình thang cân ABCD (AB > CD, AB // CD) nội tiếp vào con đường tròn (O). Kẻ các tiếp tuyến với con đường tròn (O) tại A và D bọn chúng giảm nhau ngơi nghỉ E. hotline M là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.

Chứng minc tứ giác AEDM nội tiếp được vào một mặt đường tròn.

Bài 4. Cho nhì điểm A, B thắt chặt và cố định cùng góc xAy bằng

*
(B trực thuộc miền trong góc xAy, B không nằm trong Ax, Ay. Đường trực tiếp BN giảm Ax tại H với mặt đường trực tiếp BM cắt Ay trên K. hotline I, J thứu tự là trung điểm của AB, HK.

a. Chứng minc HK = 2MN

b. Chứng minh tứ đọng giác MINJ nội tiếp được đường tròn.

Bài 5. Cho góc vuông xOy và 2 điểm A, B bên trên Ox (OB > OA > 0), điểm M bất kể bên trên cạnh Oy (M≠O). Đường tròn (T) đường kính AB cắt tia MA, MB lần lượt tại điểm đồ vật hai: C, E. Tia OE giảm con đường tròn (T) tại điểm máy nhị F.

a. Chứng minch tư điểm: O, A, E, M vị trí 1 mặt đường tròn.

b. Tđọng giác OCFM là hình gì? Tại sao?

Bài 6. Cho con đường tròn trung tâm O 2 lần bán kính AB. Trên tia đối của tia AB đem điểm C (AB>BC). Vẽ mặt đường tròn trọng tâm O’ 2 lần bán kính BC. Hotline I là trung điểm của AC. Vẽ dây cung MN vuông góc cùng với AC trên I, MC cắt mặt đường tròn tâm O’ trên D.


Chuyên mục: Tổng hợp