Bài tập phương trình lượng giác cơ bản lớp 11 có lời giải

     
Các dạng toán phương thơm trình lượng giác, cách thức giải cùng bài bác tập từ bỏ cơ bạn dạng đến cải thiện - tân oán lớp 11

Sau lúc có tác dụng thân quen cùng với những hàm lượng giác thì những dạng bài bác tập về phương trình lượng giác đó là câu chữ tiếp theo nhưng các em sẽ học tập vào lịch trình toán thù lớp 11.

Bạn đang xem: Bài tập phương trình lượng giác cơ bản lớp 11 có lời giải


Vậy phương trình lượng giác có các dạng toán thù như thế nào, cách thức giải ra sao? bọn họ cùng tò mò qua bài viết này, mặt khác áp dụng những cách thức giải này để triển khai các bài bác tập trường đoản cú cơ bạn dạng mang lại cải thiện về pmùi hương trình lượng giác.

I. Lý thuyết về Pmùi hương trình lượng giác

1. Pmùi hương trình sinx = a. (1)

° |a| > 1: Phương trình (1) vô nghiệm

° |a| ≤ 1: gọi α là một trong cung thỏa sinα = a, lúc ấy pmùi hương trình (1) có các nghiệm là:

 x = α + k2π, ()

 và x = π - α + k2π, ()

- Nếu α thỏa mãn nhu cầu điều kiện 

*
 và sinα = a thì ta viết α = arcsina. Lúc đó những nghiệm của phương thơm trình (1) là:

 x = arcsina + k2π, ()

 với x = π - arcsina + k2π, ()

- Phương trình sinx = sinβ0 có những nghiệm là:

 x = β0 + k3600, ()

 và x = 1800 - β0 + k3600, ()

2. Phương thơm trình cosx = a. (2)

° |a| > 1: Phương trình (2) vô nghiệm

° |a| ≤ 1: gọi α là 1 trong cung thỏa cosα = a, khi ấy phương thơm trình (2) có những nghiệm là:

 x = ±α + k2π, ()

- Nếu α vừa lòng ĐK 0 ≤ α ≤ π với cosα = a thì ta viết α = arccosa. khi kia các nghiệm của pmùi hương trình (2) là:

 x = ±arccosa + k2π, ()

- Pmùi hương trình cosx = cosβ0 có các nghiệm là:

 x = ±β0 + k3600, ()

3. Phương thơm trình tanx = a. (3)

- Tập xác minh, giỏi ĐK của phương trình (3) là: 

*

- Nếu α vừa lòng ĐK

*

- Nếu α thỏa mãn nhu cầu ĐK

*

II. Các dạng tân oán về Pmùi hương trình lượng giác với phương thức giải

° Dạng 1: Giải phương trình lượng giác cơ bản

* Phương pháp

- Dùng những công thức nghiệm khớp ứng với mỗi phương trình.

* lấy một ví dụ 1 (Bài 1 trang 28 SGK Đại số cùng Giải tích 11): Giải các pmùi hương trình sau:

a) b)

b)

d)

*

* Lời giải bài 1 trang 28 SGK Đại số với Giải tích 11:

a)  

*

 

*

b) 

*

 

*

 

*

c) 

*

 

*

 

*

 

*

d)

*
 
*

 

*

*
*
 
*

* lấy ví dụ 2: Giải các phương trình sau:

 a)

 b)

 c)

 d)

° Lời giải:

a) 

*

 

*
 
*
*

b) 

*

 

*
 
*
 
*

c) 

*

 

*
 
*

d) 

*

 

*
 
*

° Dạng 2: Giải một vài phương trình lượng giác chuyển được về dạng PT lượng giác cơ bản

* Pmùi hương pháp

- Dùng các công thức thay đổi để đưa về phương trình lượng giác đã mang đến về pmùi hương trình cơ bản như Dạng 1.

* ví dụ như 1: Giải những pmùi hương trình sau:

a) 

*

b) 

*

c) 

*

d) 

*

° Lời giải:

a)

*
 
*

 

*
*
 
*

+ Với 

*
 
*
 hoặc 
*

+ Với

*
 
*
 hoặc 
*

b) 

*
 
*

 

*
 
*

c)

*
 
*

 

*
 

 

*

 

*

 

*

d)

*
*

 

*
 
*

 

*
 hoặc 
*

 

*

* Lưu ý: Bài toán thù trên áp dụng công thức:

 

*
*

 

*
*

* lấy một ví dụ 2: Giải các phương trình sau:

a) 

b)

° Lời giải:

a) 

 

*
*

 

*
 
*

 

*
 hoặc 
*
 với 
*

b)

 

*
 
*

 

*
 
*

 

*

 

*
 hoặc 
*
 với 
*

* Lưu ý: Bài toán vận dụng công thức biến hóa tích thành tổng:

 

*

 

*

 

*

* lấy ví dụ 3: Giải các pmùi hương trình sau:

a)1 + 2cosx + cos2x = 0

b)cosx + cos2x + cos3x = 0

c)sinx + sin2x + sin3x + sin4x = 0

d)sin2x + sin22x = sin23x

° Lời giải:

a)

*

 

*
 
*

 

*
 
*

b)

*

 

*
 
*

 

*
*
 
*

c)

*

 

*

 

*

 

*

  hoặc 

*

  hoặc 

*

 

*
 hoặc 
*
 hoặc 
*

 

*
 hoặc 
*
 hoặc 
*
 với 
*

d)

*

 

*

 

*

 

*

 

*

 

*

 

*

 

*
 
*

 

*
 hoặc 
*
 hoặc 
*

* Lưu ý: Bài toán bên trên tất cả vận dụng cách làm biến hóa tổng thành tích cùng bí quyết nhân đôi:

 

*

 

*

 

*

 

*

 

*

 

*
 
*

° Dạng 3: Phương trình số 1 tất cả một hàm số lượng giác

* Phương pháp

- Đưa về dạng pmùi hương trình cơ phiên bản, ví dụ: 

* Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

a) 

b) 

° Lời giải:

a)  

 

*
 
*

+ Với 

*

+ Với 

*

b)

 

*

 

*

 

*

 

*
 hoặc 
*

+ Với 

*
 
*
*

+ Với 

*
: vô nghiệm.

° Dạng 4: Phương trình bậc nhị tất cả một hàm số lượng giác

* Phương pháp

♦ Đặt ẩn prúc t, rồi giải phương thơm trình bậc nhì so với t, ví dụ:

 + Giải pmùi hương trình: asin2x + bsinx + c = 0;

 + Đặt t=sinx (-1≤t≤1), ta tất cả phương thơm trình at2 + bt + c = 0.

* Lưu ý: lúc đặt t=sinx (hoặc t=cosx) thì bắt buộc gồm điều kiện: -1≤t≤1

* lấy một ví dụ 1: Giải những phương thơm trình sau

a) 

b) 

° Lời giải:

a) 

- Đặt 

*
 ta có: 2t2 - 3t + 1 = 0

 ⇔ t = 1 hoặc t = 1/2.

+ Với t = 1: sinx = 1 

*

+ Với t=1/2: 

*
 

 

*
 hoặc 
*

b) 

 

*

*

+ Đặt 

*
 ta có: -4t2 + 4t + 3 = 0

 ⇔ t = 3/2 hoặc t = -một nửa.

Xem thêm: Tôi Yêu Em Tiếng Hàn Quốc Viết Như Thế Nào, Nói Lời Yêu Bằng Tiếng Hàn

+ t = 3/2 >1 phải loại

*
*
 
*

* Chụ ý: Đối với pmùi hương trình dạng: asin2x + bsinx.cosx + c.cos2x = 0, (a,b,c≠0). Phương thơm phdẫn giải nhỏng sau:

 - Ta có: cosx = 0 không hẳn là nghiệm của phương trình vì chưng a≠0,

 Chia 2 vế mang lại cos2x, ta có:atan2x + btanx + c = 0 (được PT bậc 2 cùng với tanx)

 - Nếu pmùi hương trình dạng: asin2x + bsinx.cosx + c.cos2x = d thì ta gắng d = d.sin2x + d.cos2x, cùng rút gọn đem đến dạng bên trên.

° Dạng 5: Phương trình dạng: asinx + bcosx = c (a,b≠0).

* Phương pháp

◊ Cách 1: Chia nhị vế phương thơm trình cho , ta được:

 

 - Nếu  thì phương thơm trình vô nghiệm

 - Nếu  thì đặt 

 (hoặc )

- Đưa PT về dạng:  (hoặc ).

 ◊ Cách 2: Sử dụng công thức sinx và cosx theo ;

 

 - Đưa PT về dạng phương thơm trình bậc 2 đối với t.

* Lưu ý: PT: asinx + bcosx = c, (a≠0,b≠0) tất cả nghiệm lúc c2 ≤ a2 + b2

• Dạng tổng quát của PT là:asin + bcos = c, (a≠0,b≠0).

* Ví dụ: Giải các phương thơm trình sau:

a) 

b)

° Lời giải:

a) 

+ Ta có: 

*
 Lúc đó:

  

*

+ Đặt 

*
 ta có: cosφ.sinx + sinφ.cosx = 1.

 

*
 
*
 
*

b) 

 

*
 
*

 

*

 

*
 hoặc 
*

 

*
 hoặc 
*

* Lưu ý: Bài toán thù vận dụng công thức:

 

*
 

 

*

° Dạng 6: Phương trình đối xứng cùng với sinx với cosx

 a(sinx + cosx) + bsinx.cosx + c = 0 (a,b≠0).

Xem thêm: Các Bài Hát Nhạc Đỏ Hay Nhất, Nhạc Đỏ Chọn Lọc Hay Nhất Mọi Thời Đại

* Phương pháp

- Đặt t = sinx + cosx, lúc đó:  thế vào phương trình ta được:

 bt2 + 2at + 2c - b = 0 (*)

- Lưu ý: 

*
 yêu cầu điều kiện của t là: 

- Do kia sau thời điểm tìm được nghiệm của PT (*) nên kiểm soát (đối chiếu) lại ĐK của t.

- Pmùi hương trình dạng: a(sinx - cosx) + bsinx.cosx + c = 0 chưa phải là PT dạng đối xứng nhưng lại cũng rất có thể giải bằng cách tương tự:

 Đặt t = sinx - cosx;  

*

* Ví dụ: Giải những phương trình sau:

a) 2(sinx + cosx) - 4sinx.cosx - 1 = 0

b) sin2x - 12(sinx + cosx) + 12 = 0

° Lời giải:

a) 2(sinx + cosx) - 4sinx.cosx - 1 = 0

+ Đặt t = sinx + cosx, , Khi đó:   cố vào pmùi hương trình ta được:

 

*
 ⇔ 2t2 - 2t - 1 = 0

  hoặc 

+ Với  

*

 

*
 
*

 

*

+ Tương trường đoản cú, với 

*

 b) sin2x - 12(sinx + cosx) + 12 = 0

 

*

 

*

Đặt t = sinx + cosx, , lúc đó:   nỗ lực vào pmùi hương trình ta được:

 

*
 
*
 
*

+ Với t=1 

*

 

*
*

 

*
 hoặc 
*

*
 hoặc 
*

+ Với 

*
: loại

III. Bài tập về các dạng toán thù Phương trình lượng giác

Bài 2 (trang 28 SGK Đại số và Giải tích 11): Với hồ hết quý hiếm làm sao của x thì giá trị của những hàm số y = sin 3x cùng y = sin x bởi nhau?

° Lời giải bài bác 2 trang 28 SGK Đại số cùng Giải tích 11:

- Ta có: 

*

 

*
 
*

 

*

- Vậy với 

*
thì 
*

* Bài 3 (trang 28 SGK Đại số 11): Giải những phương trình sau:

 a) 

 b) 

*

 c) 

 d) 

° Lời giải bài 3 trang 28 SGK Đại số và Giải tích 11:

a) 

 

*
 
*

- Kết luận: PT có nghiệm

*

b) cos3x = cos12º

⇔ 3x = ±12º + k.360º , k ∈ Z

⇔ x = ±4º + k.120º , k ∈ Z

- Kết luận: PT có nghiệm x = ±4º + k.120º , k ∈ Z

c) 

 

*
 

 

*
 hoặc 
*

 

*
 hoặc 
*

 

*
 hoặc 
*

d) 

 

*
 hoặc 
*

 

*
 hoặc 
*

 

*
 hoặc 
*

Bài 4 (trang 29 SGK Đại số và Giải tích 11): Giải pmùi hương trình 

° Lời giải bài 3 trang 28 SGK Đại số với Giải tích 11:

- Điều kiện: sin2x≠1

- Ta có:  

*

 

*
 
*

 

*

+ Đến đây ta đề xuất so sánh với điều kiện:

- Xét k lẻ tức là: k = 2n + 1

 

*

*
(thỏa điều kiện)

- Xét k chẵn tức là: k = 2n

*

*
 (ko thỏa ĐK)

- Kết luận: Vậy PT tất cả họ nghiệm là 

*

Bài 1 (trang 36 SGK Đại số và Giải tích 11): Giải phương thơm trình: sin2x – sinx = 0 

° Lời giải bài 1 trang 36 SGK Đại số cùng Giải tích 11:

- Ta có: sin2x – sinx = 0

 

*

 

*
 
*

 

*
 hoặc 
*

- Kết luận: PT có tập nghiệm 

*

* Bài 2 (trang 36 SGK Đại số cùng Giải tích 11): Giải các pmùi hương trình sau:

a) 2cos2x – 3cosx + 1 = 0

b) 2sin2x +

*
.sin4x = 0

° Lời giải bài 2 trang 36 SGK Đại số với Giải tích 11:

a) 2cos2x – 3cosx + 1 = 0 (1)

- Đặt t = cosx, điều kiện: –1 ≤ t ≤ 1, lúc ấy PT (1) trở thành: 2t2 – 3t + 1 = 0


Chuyên mục: