Bài tập hằng đẳng thức

     

Vận dụng 7 hằng đẳng thức đáng nhớ để giải những dạng bài xích tập là 1 trong những trong số những câu chữ kỹ năng đặc biệt quan trọng không chỉ vào công tác lớp 8 nhưng mà chúng còn được sử dụng tiếp tục sinh sống các lớp học sau này.

Bạn đang xem: Bài tập hằng đẳng thức


Hiểu được điều này, nội dung bài viết này sẽ khối hệ thống lại những dạng bài bác tập áp dụng 7 hằng đẳng thức lưu niệm cùng các ví dụ ví dụ nhằm các em có thể nắm rõ kỹ năng và kiến thức về các hằng đẳng thức, tập luyện được kỹ năng biến đổi đổi 7 hằng đẳng thức một cách linch hoạt trong các dạng toán.

I. Kiến thức đề xuất ghi nhớ về 7 hằng đẳng thức

1. Bình phương thơm của một tổng

(A + B)2 = A2 + 2AB + B2

* lấy ví dụ như Bài 16 trang 11 sgk tân oán 8 tập 1: Viết bên dưới dạng bình pmùi hương của 1 tổng hoặc 1 hiệu

a) x2 + 2x + 1 = (x)2 + 2.(x).(1) + (1)2 = (x+1)2

b) 9x2 + y2 + 6xy = 9x2 + 6xy + y2 = (3x)2 + 2.(3x).(y) + (y)2 = (3x+y)2

2. Bình phương của một hiệu

(A – B)2 = A2 – 2AB + B2

* lấy ví dụ Bài 16 trang 11 sgk toán 8 tập 1: Viết dưới dạng bình phương thơm của một tổng hoặc 1 hiệu

c) 25a2 + 4b2 - 20ab = 25a2 - 20ab + 4b2 = (5a)2 - 2.(5a).(2b) + (2b)2 = (5a+2b)2

d)

*
*
*

3. Hiệu nhì bình phương

A2 – B2 = (A – B)(A + B)

* Ví dụ: Viết dưới dạng tích biểu thức: 4x2 - 9

* Lời giải:

- Ta có: 4x2 - 9 = (2x)2 - (3)2 = (2x-3)(2x+3)

4. Lập phương của một tổng

 (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3

* lấy ví dụ như Bài 26 trang 14 sgk tân oán 8 tập 1: Tính

a) (2x2+3y)3 =(2x2)3 + 3(2x2)2.(3y) + 3(2x2).(3y)2 + (3y)3 = 8x6 + 36x4y + 54x2y2 + 27y3

5. Lập pmùi hương của một hiệu

 (A – B)3 = A3 – 3A2B + 3AB2 – B3

* ví dụ như Bài 26 trang 14 sgk toán thù 8 tập 1: Tính

b) 

*
*
*

6. Tổng nhị lập phương

A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2)

* Ví dụ: Viết dưới dạng tích x3 + 64

 x3 + 64 = x3 + 43 = (x+4)(x2-4x+42) = (x+4)(x2-4x+16)

7. Hiệu nhị lập phương

A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2)

* Ví dụ: Viết bên dưới dạng tích 8x3 - y3

 8x3 - y3 = (2x)3 - y3 = (2x-y)<(2x)2 - (2x).y + y2> = (2x-y)(4x2 + 2xy + y2)

* Chú ý: a+b= -(-a-b) ; (a+b)2= (-a-b)2 ; (a-b)2= (b-a)2 ; (a+b)3= -(-a-b)3 ; (a-b)3=-(-a+b)3

II. Các dạng toán vận dụng 7 hằng đẳng thức

• Dạng 1 : Tính cực hiếm của biểu thức

Ví dụ: Tính cực hiếm của biểu thức : A = x2 – 4x + 4 tại x = -1

* Lời giải.

- Ta tất cả : A = x2 – 4x + 4 = x2 – 2.x.2 + 22 = (x – 2)2

- Tại x = -1 : A = ((-1) – 2)2=(-3)2= 9

⇒ Kết luận: Vậy trên x = -1 thì A = 9

• Dạng 2 : Chứng minch biểu thức A không phụ thuộc vào vào biến

 Ví dụ: Chứng minh biểu thức sau ko nhờ vào vào x: A = (x – 1)2 + (x + 1)(3 – x)

* Lời giải.

- Ta có: A =(x – 1)2 + (x + 1)(3 – x) = x2 – 2x + 1 – x2 + 3x + 3 – x = 4 : hằng số ko phụ thuộc vào trở nên x.

• Dạng 3 : Tìm quý giá bé dại tuyệt nhất của biểu thức

 Ví dụ: Tính quý giá nhỏ tuổi độc nhất vô nhị của biểu thức: A = x2 – 2x + 5

* Lời giải:

- Ta bao gồm : A = x2 – 2x + 5 = (x2 – 2x + 1) + 4 = (x – 1)2 + 4

- Vì (x – 1)2 ≥ 0 với mọi x.

⇒ (x – 1)2 + 4 ≥ 4 xuất xắc A ≥ 4

- Vậy cực hiếm bé dại duy nhất của A = 4, Dấu "=" xảy ra khi : x – 1 = 0 giỏi x = 1

⇒ Kết luận GTNN của A là: Amin = 4 ⇔ x = 1

• Dạng 4 : Tìm giá trị lớn số 1 của biểu thức

 Ví dụ: Tính quý giá lớn nhất của biểu thức: A = 4x – x2

* Lời giải:

- Ta bao gồm : A = 4x – x2 = 4 – 4 + 4x – x2 = 4 – (4 – 4x + x2) = 4 – (x2 – 4x + 4) = 4 – (x – 2)2

- Vì (x – 2)2 ≥ 0 với mọi x ⇔ -(x – 2)2 ≤ 0 với tất cả x

 ⇔ 4 – (x – 2)2 ≤ 4

 ⇔ A ≤ 4 Dấu "=" xẩy ra khi : x – 2 = 0 giỏi x = 2

⇒ tóm lại GTLN của A là: Amax = 4 ⇔ x = 2.

• Dạng 5 : Chứng minch đẳng thức bằng nhau

 Ví dụ: Chứng minch đẳng thức sau đúng: (a + b)3 – (a – b)3 = 2b(3a2 + b2)

* Lời giải:

- Đối với dạng toán này họ chuyển đổi VT = VP hoặc VT = A cùng VP = A

- Ta có: VT = (a + b)3 – (a – b)3

= (a3 + 3a2b + 3ab2 + b3) – (a3 – 3a2b + 3ab2 – b3)

= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 – a3 + 3a2b – 3ab2 + b3

= 6a2b + 2b3

= 2b(3a2 + b2) = VP (đpcm).

⇒ Tóm lại, vậy : (a + b)3 – (a – b)3 = 2b(3a2 + b2)

• Dạng 6 : Chứng minch bất đẳng thức

- Biến thay đổi bất đẳng thức về dạng biểu thức A ≥ 0 hoặc A ≤ 0. Sau đó cần sử dụng những phép thay đổi gửi A về 1 trong 7 hằng đẳng thức.

 ví dụ như 1: Chứng minch biểu thức A nhận cực hiếm dương với mọi quý hiếm của đổi mới, biết: A = x2 - x + 1

* Lời giải: 

- Ta có: 

*
*
*

- Vì

*
 nên 
*

lấy ví dụ 2: Chứng minch biểu thức B dấn cực hiếm âm với mọi quý giá của phát triển thành x, biết: B = (2-x)(x-4)-2 

* Lời giải: 

- Ta có: B = (2-x)(x-4) - 1 = 2x - 8 - x2 + 4x - 2 = -x2 + 6x - 9 - 1 = -(x2 - 6x + 9) - 1 = -(x-3)2 - 1

- Vì (x-3)2 ≥ 0 ⇔ -(x-3)2 ≤ 0 ⇒ -(x-3)2 - 1 ≤ -1 • Dạng 7: Phân tích nhiều thức thành nhân tử


 lấy ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A = x2 – 4x + 4 – y2

* Lời giải:

- Ta bao gồm : A = x2 – 4x + 4 – y2 <để ý x2 – 4x + 4 bao gồm dạng hằng đẳng thức>

= (x2 – 4x + 4) – y2 <đội hạng tử>

= (x – 2)2 – y2

= (x – 2 – y )( x – 2 + y)

⇒ A = (x – 2 – y )( x – 2 + y)

 ví dụ như 2: phân tính A thành nhân tử biết: A = x3 – 4x2 + 4x

 = x(x2 – 4x + 4)

= x(x2 – 2.2x + 22)

= x(x – 2)2

 lấy một ví dụ 3: Phân tích B thành nhân tử biết: B = x 2 – 2xy – x + 2y

= (x 2– x) + (2y – 2xy)

= x(x – 1) – 2y(x – 1)

= (x – 1)(x – 2y)

 ví dụ như 4:  Phân tích C thành nhân tử biết: C = x2 – 5x + 6

= x2 – 2x – 3x + 6

= x(x – 2) – 3(x – 2)

= (x – 2)(x – 3)

• Dạng 8: Tìm quý hiếm của x

 Ví dụ: Tìm giá trị củ x biết: x2( x – 3) – 4x + 12 = 0

* Lời giải.

 x2 (x – 3) – 4x + 12 = 0

⇔ x2 (x – 3) – 4(x – 3) = 0

⇔ (x – 3) (x2 – 4) = 0

⇔ (x – 3)(x – 2)(x + 2) = 0

⇔ (x – 3) = 0 hoặc (x – 2) = 0 hoặc (x + 2) = 0

⇔ x = 3 hoặc x = 2 hoặc x = –2

⇒ tóm lại, vậy nghiệm : x = 3; x = 2; x = –2

• Dạng 9 : Thực hiện nay phxay tính phân thức

 Ví dụ: Tính giá trị của phân thức  tại x = –1

* Lời giải:

- Ta tất cả :

*
*

- Khi x = -1 :

*
*

⇒ kết luận, vậy: I = 1/2 trên x = -1 .

Xem thêm: Công Tắc Hành Trình Là Gì ? Nguyên Lý Hoạt Động Công Tắc Hành Trình

III. Những bài tập vận dụng 7 hằng đẳng thức đáng nhớ

Bài 17 trang 11 SGK toán 8 tập 1: Chứng minch rằng: (10a + 5)2 = 100a(a + 1) + 25

Từ kia em hãy nêu phương pháp tính nhđộ ẩm bình pmùi hương của một số thoải mái và tự nhiên gồm tận thuộc bằng văn bản số 5.

Áp dụng để tính: 252; 352; 652; 752

* Lời giải Bài 17 trang 11 SGK tân oán 8 tập 1: 

- Ta có: (10a + 5)2 = (10a)2 + 2.10a.5 + 52 = 100a2 + 100a + 25 = 100a(a + 1) + 25

- Đặt A = a(a + 1). lúc kia ta có:

*
 
*
 
*

- Do vậy, để tính bình phương thơm của một số trong những tự nhiên bao gồm dạng

*
 , ta chỉ cần tính tích a.(a + 1) rồi viết 25 vào phía sau tác dụng vừa tìm kiếm được.

* Áp dụng:

 252 = 625 (Vì 2.3 = 6)

 352 = 1225 (Vì 3.4 = 12)

 652 = 4225 (Vì 6.7 = 42)

 752 = 5625 (Vì 7.8 = 56)

Bài 18 trang 11 SGK toán thù 8 tập 1: Hãy tìm biện pháp giúp bạn An phục sinh lại gần như hằng đẵng thức bị mực có tác dụng nhòe đi một trong những chỗ:

 a) x2 + 6xy + ... = ( ... + 3y)2

 b) ... - 10xy + 25y2 = ( ... - ...)2

Hãy nêu một đề bài giống như.

* Lời giải bài bác 18 trang 11 SGK toán 8 tập 1: 

a) Dễ dàng phân biệt đó là hằng đẳng thức (A+B)2 với:

 A = x ; 2.AB = 6xy ⇒ B = 3y.

- Vậy ta bao gồm hằng đẳng thức: x2 + 2.x.3y + (3y)2 = (x + 3y)2 tốt x2 + 6xy + 9y2 = (x + 3y)2

b) Nhận thấy đây là hằng đẳng thức (A-B)2 với:

 B2 = 25y2 = (5y)2 ⇒ B = 5y ; 2.AB = 10xy = 2.x.5y ⇒ A = x.

- Vậy ta bao gồm hằng đẳng thức : x2 – 10xy + 25y2 = (x – 5y)2

c) Đề bài xích tương tự:

 9x2 + 12xy + ... = (... + 4y2)

 ... – 4xy + y2 = ( ... – ...)2

Bài 28 trang 14 SGK toán 8 tập 1: Tính quý hiếm của biểu thức:

a) x3 + 12x2 + 48x + 64 trên x = 6

b) x3 – 6x2 + 12x – 8 tại x = 22

* Lời giải bài bác 28 trang 14 SGK toán 8 tập 1:

a) x3 + 12x2 + 48x + 64 = x3 + 3.x2.4 + 3.x.42 + 43 = (x + 4)3

- Tại x = 6, quý hiếm biểu thức là: (6 + 4)3 = 103 = 1000.

b) x3 – 6x2 + 12x – 8 = x3 – 3.x2.2 + 3.x.22 – 23 = (x – 2)3

- Tại x = 22, quý giá biểu thức là: (22 – 2)3 = 203 = 8000.

Bài 30 trang 16 SGK toán thù 8 tập 1: Rút ít gọn gàng các biểu thức sau:

a) (x + 3)(x2 – 3x + 9) – (54 + x3)

b) (2x + y)(4x2 – 2xy + y2) – (2x – y)(4x2 + 2xy + y2)

* Lời giải bài xích 30 trang 16 SGK tân oán 8 tập 1:

a) (x + 3)(x2 – 3x + 9) – (54 + x3)

 

 = (x3 + 33) – (54 + x3)

 = x3 + 27 – 54 – x3

 = –27

b) (2x + y)(4x2 – 2xy + y2) – (2x – y)(4x2 + 2xy + y2)

 

= (2x + y)<(2x)2 – 2x.y + y2> – (2x – y)<(2x)2 + 2x.y + y2>

= <(2x)3 + y3> – <(2x)3 – y3>

= (2x)3 + y3 – (2x)3 + y3

= 2y3

Bài 31 trang 16 SGK toán 8 tập 1: Chứng minh rằng:

a) a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b)

b) a3 – b3 = (a – b)3 + 3ab(a – b)

Áp dụng: Tính a3 + b3, biết a.b = 6 và a + b = -5

* Lời giải bài 31 trang 16 SGK tân oán 8 tập 1:

a) Biến thay đổi vế phải ta được:

VPhường = (a + b)3 – 3ab(a + b)

 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 – 3a2b – 3ab2

 = a3 + b3 = VT

- Tóm lại, vậy: a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b)

b) Biến thay đổi vế phải ta được:

VP = (a – b)3 + 3ab(a – b)

 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 + 3a2b – 3ab2

 = a3 – b3 = VT

- Kết luận, vậy: a3 – b3 = (a – b)3 + 3ab(a – b)

* Áp dụng: Với ab = 6, a + b = –5, ta có: a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b)

 = (–5)3 – 3.6.(–5) = –53 + 3.6.5 = –125 + 90 = –35

Bài 34 trang 17 SGK toán thù 8 tập 1: Rút gọn gàng những biểu thức sau:

a) (a + b)2 – (a – b)2

b) (a + b)3 – (a – b)3 – 2b3

c) (x + y + z)2 – 2(x + y + z)(x + y) + (x + y)2

* Lời giải bài xích 34 trang 17 SGK toán thù 8 tập 1:

a) (a + b)2 – (a – b)2

♦ Cách 1: <Áp dụng HĐT A2 - B2 cùng với A = a + b; B = a – b>

= <(a + b) – (a – b)>.<(a + b) + (a – b)>

= 2b.2a = 4ab

♦ Cách 2: <Áp dụng (A+B)2 với (A-B)2

= a2 + 2ab + b2 - (a2 - 2ab + b2)

= a2 + 2ab + b2 - a2 + 2ab - b2

= 4ab

b) (a + b)3 – (a – b)3 – 2b3

= (a3 + 3a2b + 3ab2 + b3) – (a3 – 3a2b + 3ab2 – b3) – 2b3 

= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 – a3 + 3a2b – 3ab2 + b3 – 2b3

= (a3 – a3) + (3a2b + 3a2b) + (3ab2 – 3ab2) + (b3 + b3 – 2b3)

= 6a2b

c) (x + y + z)2 – 2.(x + y + z).(x + y) + (x + y)2

 

= <(x + y + z) – (x + y)>2 = z2.

IV. Một số bài bác tập áp dụng 7 sản phẩm đẳng thức luyện tập

Bài tập 1: Viết các biểu thức sau bên dưới dạng bình pmùi hương của 1 tổng hay như là 1 hiệu:

a) 

*

b) 16x2 - 8x + 1

c) 4x2 +12xy +9y2

d) (x+3)(x+4)(x+5)(x+6)+1

Đ/S: a) (x+5/2)2 ; b) (4x-1)2 ; c) (2x+3y)2 ; d) (x2+9x+19)2

Bài tập 2: Viết những biểu thức sau dưới dạng lập phương thơm của một tổng hay 1 hiệu:

a) x3 + 3x2 + 3x +1

b) 27x3 - 9x2 + x - 1/27

c) 8x6 + 12x4y + 6x2y2 + y3

d) (x+y)3(x-y)3

Đ/S: a) (x+1)3 ; b) 

*
 ; c) (2x2 + y)3 ; d) (x2-y2)3

các bài luyện tập 3: Rút ít gọn gàng biểu thức

a) A = (2x+3)2 -2(2x+3)(2x+5) + (2x+5)2

b) B = (x2+x+1)(x2-x+1)(x2-1)

c) C = (x+y-z)2 + (x-y+z)2 - 2(y-z)2

d) D = (x+y+z)2 + (x-y-z)2 - 2(y-z)2

Đ/S: a) A=4 ; b) B=x6-1 ; c) C=2x2 ; d) D=2(x2+4yz)

các bài luyện tập 4: Điền 1-1 thức phù hợp vào vết *

a) 8x3 + * + * + 27y3 = (* + *)3

b) 8x3 + 12x2y + * + * = (* + *)3

c) x3 - * + * - * = (* - 2y)3

Đ/S: a) (2x+3y)3 ; b) (2x+y)3 ; c) (x-2y)3

các bài luyện tập 5: chứng tỏ rằng với đa số giá trị của x ta có:

a) -x2 + 6x - 10 4 + 3x2 +3 > 0

bài tập 6: Cho a - b = m; a.b = n. Tính theo m, n giá trị biểu thức sau:

 1) A= (a + b)2

 2) B= a2 + b2

 3) C= a3 - b3

Đ/S: a) A = m2+ 4n ; b) B = m2 - 2n ; c) C = m(m2 + 3n)

các bài tập luyện 7: Tính giá trị của biểu thức bằng cách áp dụng hằng đẳng thức

a) A = x3 + 3x2 + 3x + 6 với x = 29

b) B = x3 - 3x2 + 3x - 1 với x = 21

Đ/S: A = 27005 ; B = 8000

các bài tập luyện 8: Chứng minch những biểu thức sau ko phụ thuộc vào vào x

a) (2x+3)(4x2-6x+9)-2(4x3-1)

b) (4x-1)3 - (4x-3)(16x2+3)

Hy vọng cùng với bài viết khối hệ thống lại loài kiến thức về những dạng bài tập áp dụng 7 hằng đằng thức thuộc ví dụ với bài xích tập sống bên trên mang lại lợi ích cho các em. Mọi thắc mắc với góp ý các em vui mắt vướng lại comment bên dưới bài viết nhằm acsantangelo1907.com ghi nhận và cung ứng, chúc những em tiếp thu kiến thức xuất sắc.


Chuyên mục: Tổng hợp